در اواخر قرن نوزدهم میلادی، با کارهای آگوستوس دی مورگان، جرج بول، گوتلوب فرگه، برتراند راسل، داوید هیلبرت و دیگران این علم به پیشرفت قابل ملاحظه‌ای دست یافت . منطق امروز در ریاضیات، شکل کامل تری از منطق در فلسفه است که اساس خود را با نظریهٔ مجموعه‌ها به اشتراک دارد.

انگیزه و اهداف

تحقیقات علمی درباره منطق ریاضی، در پی بروز پرسش‌های نوین در بنیان‌های ریاضیات پدید آمد. به عنوان نمونه، فرگه می‌کوشید تا ریاضیات را بر پایهٔ اصول برآمده از منطق و نظریهٔ مجموعه‌ها قرار دهد. راسل، در حذف تناقضات ناشی از دستگاه منطق فرگه تلاش کرد و هدف هیلبرت نشان‌دادن این امر بود که "روش‌های مورد قبول عام در ریاضیات هرگاه که به‌طور همه‌جانبه، کلی نگرانه و به‌عنوان یک کل واحد، در نظر گرفته شود، به هیچ نوع تناقضی منجر نخواهد شد ." (این موضوع به برنامه هیلبرت شهرت یافته است .)

کاربردهای ریاضی

روش‌ها و نتایج بدست‌آمده در منطق ریاضی، نه تنها در حلّ مسائل بنیانی موارد استفاده دارد، بلکه، در بسیاری از شاخه‌های دیگر ریاضیّات نظیر جبر، هندسه و توپولوژی هم مورد بهره‌برداری قرار می‌گیرد.

قوانین دمورگان در ساده سازی مدارت و عبارات منطقی به شدت پر کابرد هستند. در واقع این قوانین برای عبارات چند متغیره به کار می روند :

• (x+y)' = x' * y'
• (x*y)' = x' + y'
  

با دقت در آن به سادگی مفهوم آن را متوجه خواهید شد .

مثال:

X = [(A'+C) * (B+D')]'
= (A'+C)' + (B+D')' [قانون (17)]
= (A*C') + (B'+D) [قانون (16)]
= AC' + B'D

قوانین دمورگان برای سه متغیر

(x+y+z)' = x' * y' * z'

(xyz)' = x' + y' + z'

مفهوم قانون دمورگان

(x+y)' = x' * y'

(x*y)' = x' + y'